sistem persamaan linier dua variabel

Pengertian dan Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Serta Pembahasan Lengkap

Posted on

Pengertian dan Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Serta Pembahasan Lengkap – Sistem persamaan linear dua variabel (SLDV) yaitu sebuah sistem / kesatuan dari beberapa persamaan linear dua variabel yang sejenis. Maka, sebelum mempelajari sistem persamaan linear dua variabel lebih jauh, mari kita pelajari terlebih dahulu mengenai hal-hal yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Suku, Koefisien, Konstanta Dan Variabel

Variabel yaitu suatu peubah / pemisal / pengganti dari suatu nilai / bilangan yang umumnya dilambangkan dengan menggunakan huruf atau simbol.

Contoh :

Kalian mempunyai 5 ekor kambing dan 3 ekor sapi.

Apabila ditulis dengan memisalkan: a. kambing dan b. sapi

Jadi = 5a + 3b, dengan a dan b ialah variabel

Koefisien yaitu sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya jumlah variabel yang sejenis. Koefisien juga bisa dikatakan sebagai bilangan di depan variabel karena penulisan untuk sebuah suku yang mempunyai variabel ialah koefisien didepan variabel.

Contoh :

Joni mempunyai 5 ekor dan 3 ekor sapi.

Bila ditulis dengan memisahkan : a = kambing dan b = sapi

Jadi = 5a + 3b dengan 5 dan 3 ialah koefisien dengan 5 yaitu koefisien b

Konstanta ialah suatu bilangan yang tidak diikuti oleh veriabel sehingga nilainya tetap (konstan) untuk nilai peubah (variabel) berapapun.

Contoh :

4p + 3q -10

-10 ialah suatu konstanta karena berapapun nilai p dan q, nilai -10 tidak ikut terpengaruh sehingga tetap (konstan)

Suku ialah suatu bagian dari bentuk aljabar yang bisa terdiri dari variabel dan koefisien atau berbentuk konstanta yang tiap pada suku dipisahkan dengan tanda operasi penjumlahan.

Contoh :

5x- y + 7 , suku – sukunya adalah : 5x, -y, dan 7

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel ialah sebuah bentuk relasi sama dengan pada bentuk aljabar yang mempunyai dua variabel dan keduanya berpangkat 1 (satu).

Dapat dikatakan persamaan linear dua variabel karena pada bentuk persamaan tersebut nila digambarkan dalam bentuk grafik, jadi akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).

Cirri-ciri persamaan linear dua variabel:

  1. Memakai relasi sama dengan ( = )
  2. Mempunyai dua variabel yang berbeda
  3. Kedua variabelnya berpangkat satu

Contoh :

2x – 5y = 2 ialah (PLDV)

3x + 5y > 10 ialah (Bukan PLDV) karena memakai relasi “>”

Pada kehidupan sehari-hari, terdapat beberapa permasalahan yang berhubungan dengan konsep persamaan linear dua variabel. Misal sebagai contoh :

Joni membeli 2 buku tulis dan 3 pensil = Rp 20.000,00 . Berapakah harga untuk masing – masing barang tersebut ?

Permasalahan di atas yaitu salah satu permasalahan yang berhubungan dengan PLDV karena terdapat 2 variabel yang berbeda ialah harga buku tulis dan harga pensil. Bila dimisalkan a = harga buku tulis, dan b = harga pensil. Jadi, permasalahan diatas bisa diubah dalam bentuk matematika sebagai berikut :

2a + 3b = 20.000

Dengan a dan b ialah suatu peubah dari harga barang yang berbeda.

Dalam permasalahan PLDV seperti ini, kedua variabel nilai akan saling mempengaruhi sehingga untuk satu bentuk PLDV, kalian dapat menyelesaikannya dengan cara menebak langsung kemungkinannya. Perhatikan contoh dibawah ini :

Harga Buku Tulis     Harga Pensil

Rp 2.000,00             Rp 6.000,00

Rp 2.500,00             Rp 5.000,00

Rp 4.000,00             Rp 4.000,00

Rp 5.500,00             Rp 3.000,00. Dan seterusnya

Dari penjelasan diatas menunjukkan kemungkinan–kemungkinan harga buku dan pensil sehingga untuk pembelian 2 buku tulis dan 3 pensil ialah Rp 20.000,00.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Seperti pada penjelasan diatas, sistem persamaan linear dua variabel ialah sebuah sistem atau kesatun dari beberapa persamaan linear dua variabel yang sejenis. Persamaan linear dua variabel yang sejenis yang dimaksud disini ialah persamaan – persamaan dua variabel yang memuat variabel yang sama.

Contoh :

Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12

Persamaan (ii) ; x – 2y = -1

Kedua persamaan tersebut dapat dikatakan sejenis karena memuat variabel variabel yang sama yakni x dan y.

bila pada PLDV, bisa dikatakan bahwa PLDV mempunyai penyelesaian lebih dari satu asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada PLDV. bila  pada SPLDV, persamaan – persamaan yang ada akan saling mengikat nilainya sehingga himpunan penyelesaiannya harus memenuhi disemua PLDV yang membentuk SPLDV.

Contoh :

bila 2x + 3y = 12 dan x – 2y = – 1, jadi nilai x dan y masing-masing ialah …

Perhatikan tabel penyelesaian dibawah ini !

Persamaan. 2x + 3y = 12      Pers. x – 2y = -1

x            y                       x           y

0           4                       0          ½

1          10/3                   1          1

2          8/3                     2         3/2

3          2                        3         2

5          2/3                     4        5/2

6          0                       -1        0

Dst                                    Dst

Pada masing-masing PLDV mempunyai banyak penyelesaian, tapi untuk himpunan penyelesaian yang benar pada SPLDV ialah penyelesaian yang ada di semua PLDV. Pada contoh diatas, himpunan penyelesaiannya yaitu x = 3 dan y = 2

Pada contoh diatas, bisa disimpulkan bahwa syarat sebuah sistem persamaan linear dua variabel bisa mempunyai satu penyelesaian apabila :

  1. Terdapat PLDV lebih dari 1 dan sejenis.
  2. PLDV yang membentuk SPLDV bukan PLDV yang sama.

Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV

Selain cara sebelumnya terdapat metode/cara lain untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel. Diantaranya :

1. Metode substitusi (mengganti)

Metode ini yaitu yang menggunakan nilai untuk persamaan dari sebuah variabel untuk menggantikan variabel tersebut.

Contoh :

Jika 2a + b = 7 dan 2a – b = 5. jadi nilai a dan b masing – masing ialah…

Jawab :

2a + b = 7 ………. persamaan. i

2a – b = 5 ………. persamaan. ii

Pers. I bisa diubah bentuk menjadi b = 7 – 2a, sehingga kalian bisa mengganti b pada pers. ii dengan bentuk tersebut.

b = 7 – 2a ……… persamaan. i

2a – b = 5………. persamaan. ii

2a – (7 – 2a) = 5 ………….…… b diganti 7 – 2a

2a – 7 + 2a = 5

4a = 5 + 7

a = 12/4

a = 3

nilai a ialah 3, ini bisa kita substitusikan ke pers. i atau pers. ii

b = 7 – 2a

b = 7 – 2(3)

b = 7 – 6

b = 1

2. Metode eliminasi (menghilangkan)

Metode ini yaitu metode yang memakai cara menghilangkan sebuah variabel dari dua persamaan dengan mengoperasikan kedua persamaan. Yang dimaksud dari mengoperasikan persamaan yaitu kita bisa menjumlahakan persamaan atau mengurangkan persamaan satu dengan persamaan lainnya.

Sehingga salah satu variabelnya hilang/habis.

Contoh :

Tentukan nilai p bila 2p – q = 5 dan p + 3q = -1 !

Penyelesaian :

Jawab :

Dua persamaan tersebut bisa langsung kalian jumlahkan atau kurangkan, namun jika langsung dijumlah atau dikurangkan tidak akan ada variabel yang hilang sehingga kalian harus menyamakan koefisien salah satu variabel dari kedua PLDV terlebih dahulu. Misanya kalian menyamakan koefisien p sehingga p nanti dapat hilang.

2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5

p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –

                                  0 – 7q = 7

                                         q = (-7)/7

                                         q = -1

sesudah nilai q didapatkan, kalian bisa mencari p dengan menghilangkan q dengan cara yang sama seperti saat menghilangkan p.

2p – q = 5    (x 3)   6p–3q = 15

p + 3q = – 1 (x 1)    p + 3q = -1 +

                              7p + 0 = 14

                                      p = 14/7

                                      p = 2.

3. Metode campuran (eliminasi-substitusi)

Metode campuran ini merupakan metode yang menggaabungkan metode eliminasi dan metode substitusi yaitu dengan metode eliminasi sebagai metode awal untuk menentukan nilai salah satu variabel dan kemudian nilai variabel disubstitusikan untuk menentukan nilai variabel yang lainnya.

Contoh :

Tentukan nilai p dan q jika 2p – q = 5 dan p + 3q = – 1!

Penyelesaian :

2p – q = 5 … (pers. i)

p + 3q = – 1 … (pers. ii)

Eliminasi per (i) dan pers (ii)

2p – q = 5    (x 1)      2p – q = 5

p + 3q = – 1 (x 2)      2p + 6q= -2 –

                                  0 – 7q = 7

                                         q = (-7)/7

                                         q = -1.

Sesudah  nilai q diperoleh, kalian substitusikan ke salah satu persamaan.

p + 3q = -1

p + 3(-1) = -1

p – 3 = -1

p = -1 + 3

p = 2

HP = {2; -1}

Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel

1. Pada sebuah pertunjukan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas Ekonomi dan Karcis kelas Utama. Harga karcis pada kelas Ekonomi yaitu Rp. 6000,00 dan kelas Utama yaitu Rp. 8000,00. Apabila hasil penjualan seluruh karcis ialah Rp.3.360.000,00 . berapakah jumlah karcis kelas Ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :

Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a, jumlah karcis kelas Utama = b

Maka ;

a + b  = 500 …. (1)

6000a + 8000b = 3.360.000 6a + 8b = 3.360… (2)

Eliminasi b 

a + b  = 500        | x 8

6a + 8b = 3.360  | x 1

8a + 8b = 4000

6a + 8b = 3.360  –

         2a = 640

           a = 320

Jadi banyaknya karcis pada kelas ekonomi yang terjual ialah 320 karcis.

2. Jika Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilanga tersebut adalah 108. Tentukanlah bilangan yang paling besar diantara keduanya.

Penyelesaiannya :

Misalkan bilangan yang terbesar = a, dan yang terkecil = b

Maka ;

a + b = 200

a – b = 108 +

      2a = 308

        a = 154

Jadi, bilangan yang terbesar ialah 154.

3. Tami dan Ade bekerja pada sebuah pabrik tas. Tami dapat menyelesaikan 3 buah tas dalam setiap jam dan Ade dapat menyelesaikan 4 buah tas dalam setiap jamnya. Jumlah jam kerja Tami dan Ade adalah 16 jam sehari, dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya yaitu 55 tas. Jika, jam kerja keduanya berbeda, tentukanlah jam kerja mereka masing-masing!

Penyelesaiannya :

Misalnya jam kerja Tami = a dan jam kerja Ade = b

Maka ;

3a + 4b = 55 | x 1

a + b = 16     |x 3

3a + 4b = 55

3a + 3b = 48 –

          b = 7

a = 16 -7 = 9

Jadi, Tami bekerja selama 9 jam dan Ade bekera 7 jam dalam sehari.

4. Alfi membeli 4 buku dan 5 pensil dengan harga Rp.24.000,00 . Dina membeli 6 buku dan 2 pulpen dengan harga Rp. 27.200,00. Jika Susi ingin membeli 3 buku dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh Susi?

Penyelesaiannya :

Misal buku = b, dan pensil = p

4b + 5p = 24.000 | x 2

6p + 2p = 27.200 | x 5

8b   + 10p =   48.000

30p + 10p = 136.000 –

          -22b = 88.000

               b = 4000

4(4000) + 5p = 24.000

                  5p = 8000

                    P = 1600

3b + 2p = 3(4000) + 2(1600) = 15.200

Jadi, Susi harus membayar Rp. 15.200,00.

5. Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis pertama seharga Rp.6000,00 dan Tepung jenis kedua seharga Rp. 6.200,00.  Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!

Penyelesaiannya :

Misal berat tepung jenis pertama = x dan tepung jenis kedua = y

Maka;

x + y = 50

6000x + 6200y = 306.000 à  60x + 62 y = 3.060

Jadi persamaannya adalah  x + y = 50 dan 60x + 62 y = 3.060.

Demikian penjelasan yang bisa kami sampaikan tentang Pengertian dan Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Serta Pembahasan Lengkap . Semoga bermanfaat dan jangan lupa ikuti postingan kami berikutnya.